以控制风险中，经常要求其度量是同等的（cohe
只知道一个风险的度量如果是一致的会有很多好的性质，想知道在实际中具体有哪些好处？还想请教：能不能形象的描述下一致性公理的那四大条件（Translation invariance；Subadditivity；Positive homogeneity；Monotonicity；）
我在商业银行做组合信用风险管理，我们在做经济资本分配时会遇到这个问题。蒙特卡洛模拟出组合总的VaR之后，为了把经济资本分配到子组合甚至逐笔借据上，我们会计算一个conditional VaR,其实是sub portfolio expected loss conditional on total VaR,即CVaR，这个是一个coherent measure, 推导也很简单。计算这个也得蒙特卡洛模拟，需要重点抽样，详见glasserman的文章。
以上是我在工作中关于这个话题的体会
不请自来~~
金融机构需要管理风险，首先需要知道自己究竟面临多大的风险。衡量风险大小的过程实际上就是给风险一个数值（就是测度，measure），这个数值直接告诉人们，你们面临的风险有多大。比如，现在很流行的VaR在险价值，就是你资产明天的价值分布上的一个分位点。VaR越大，那么你面临的风险越大。
课件，测度的过程就是把你面对的所有资产变换成一个数字，然后根据这个数字作出决策（比如，如果觉得风险太大就应当适当降低风险，卖出高风险的资产）。那么一个好的指标应该能够合理的度量风险。比如，如果a资产的风险比b高，那么a的测度值就应该更大——这很直观对不对？那么为了让这个风险测度具有这种好的性质，就需要满足你提到的那四个条件：Translation invariance；Subadditivity；Positive homogeneity；Monotonicity。
这四个条件出自Delbaen在2000年的一篇文章：
Coherent risk measures
在下面的介绍中，用M(X)表示资产X的风险测度
次可加性：M(X+Y)<=M(X)+M(Y)
可以看到X和Y作为两种资产，他们组合的风险值小于两组资产风险值得和。这实际上体现了分散化的好处。（我觉得还是很直观的，不明白的话我可以再详细一点地讲解）
正向同质性：M(k*X)=k*M(X),k是正常数
如果把k换成2，那么两份资产X的风险值是一份资产X的两倍。如果这一条不满足，那么考虑这样一种情况：公司A拥有两份资产X，公司B拥有两家公司，每家拥有一份资产X，其他的完全相同。如果我们认为其中一家公司的风险更小，那么这家公司的价值应该更大一些（在未来现金流几乎一样的时候，这家公司的承担的风险更小）。但事实上，两家公司的资产数量和性质是完全相同，所以他们的价值是一样的。这就发生了矛盾。
回过头去看次可加性：这个性质成立的原因是两份资产的相关性不唯一，之间存在对冲的效应。对于两份一样的资产，他们的相关系数是1，没有对冲的效应，所以风险值正好是两倍。（有没有觉得很精彩？）
对这一条，作者自己也曾经提出过批判，他在文章中强调，他并没有考虑流动性风险。比如当年长期资本管理公司积累了大量的俄罗斯国债，大到可以影响市场的定价。在发生问题的时候，这家公司根本没有办法解除头寸。就是俗话说的“套牢”了。（跑题了，就不做深入展开了，欢迎探讨）
单调性：如果资产X1未来的现金流在任何一种状况下都小于资产X2的现金流，那么M(X1)>M(X2)
这个表面看起来跟收益比较相关，所以很难理解为什么变成了关于风险的测度。
但是，事实上，这个跟收益没有关系，要理解这个为什么风险有关系，我们还需要了解究竟什么是风险。
首先，这跟收益没有关系。假设现在有两种资产：资产A，价格1000元，明年还你1000元（收益为0）；资产B，价格2元，明年还你10元（收益500%）。如果这是一个关于收益的测度的话，那么B资产在这个测度上完胜，但是，在我们的一致风险测度下，资产A胜（他的风险更小），因为在任何一种情况下，B的现金流都比A的小，所以M(B)>M(A)...
其次，这确实是关于风险的测度。在文章中，作者对于风险的定义并不是直接的资产的损失。作者认为，资产带来的损失造成公司出现支付危机，不能或者很难完成日常经营活动周转所需，才是风险。（听起来很绕口，但是用资产损失作为风险值的问题在于这本身就是一个数字，换句话说，你本身已经做了一次变换。）
如果这样去理解风险，那么在上例中，假设你只拥有资产A，在下一期，你将拥有1000元应付日常所需；假设你只拥有资产B，在下一期，你只拥有10元应付。。。那么在那种情况下你更容易饿死呢？换成公司也是一样的。所以，拥有资产A的风险更小一些。
那么既然拥有资产A的风险更小一些，它的测度是不是应该小一些呢？
再加上平移不变性，就构成了我们的所说的一致测度。
看起来平移不变性很特殊啊。。。
嗯，我确实是这样认为的。
平移不变性：M(X+alpha)=M(X)-alpha.
alpha是指现金资产。这个公理的意思就是，如果我持有资产X外加alpha那么多的现金，我面临的风险就是要小一些的对不对？因为这一个资产组合在任何情况下得现金流，都比只持有X大（请见单调性）。唯一的问题就是，为什么正好是少了alpha那么多？
答案在作者的原文中：我们并不是简单地给风险进行一个排序——我们还期望告诉人们，你究竟需要多少现金来覆盖你面临的风险，从而认为你是足够谨慎的。
"When positive, the number M(X) assigned by the measure M to the risk X will be interpreted as the minimum extra cash the agent has to add to the risky position X and invest 'prudently'."——原文section 2.3.
事实上，在这篇文章以前，有另一个人也曾提出过一致风险测度的概念，那是一个更一般的测度，只是为了给风险排序（谁的风险大谁的数值就大）。这篇文章的作者避开了这一做法，提出了一个更加具体的做法。
所以我认为平移不变性是很特殊的条件，没有它，也许是可以的（我说也许，是因为我不知道在数学上，缺乏这个条件可不可以退出一个合理的测度，这涉及了测度论方面的内容，但是在金融上，缺了它并不是不可以）
欢迎探讨。